Jocs matemàtics (pag. 51 llibre de 4rt ESO)
Cinco hombres y un mono naufragan en una isla desierta. Tras pasar el día recogiendo cocos, los juntan y se ponen a dormir.
Por la noche, uno de ellos despierta y divide los cocos en cinco montones. Le sobra un coco y se lo da al mono, luego esconde su parte y deja lo demás donde estaba.
Poco después un segundo náufrago se despierta y hace lo mismo. Al dividir los cocos en cinco montones vuelve a sobrar un coco y se lo da también al mono. También esconde su parte y deja lo demás donde estaba.
Uno tras otro, el tercero, cuarto y quinto náufragos hacen lo mismo y se repite la situación.
Por la mañana, al día siguiente, dividieron los cocos en cinco montones sin que sobrara ninguno. ¿Cuántos se habían recolectado inicialmente?
Pistas: 1.-En cada reparto se hacen cinco montones de cocos y sobra uno para el mono, ¿Sabrías decir números que tuvieran esa propiedad? ¿Puedes expresar estos números de forma abstracta mediante el lenguaje algebraico?
2.-Tras el primer reparto los cuatro montones que deja el primer marinero se distribuyen en cinco montones más el del mono, en lo que constituye el segundo reparto ¿Puedes poner números que correspondan a esta situación?¿Podrías expresar esto con lenguaje algebraico?
Solución a las pistas. Sea n el número total de cocos y sean a, b, c, d y e las cantidades de cocos que se van llevando sucesivamente los hombres. Tenemos:
ResponderEliminarn = 5a+1
o lo que es lo mismo (sumando 4 a los dos lados)
n+4 = 5(a+1)
Hola, este problema aparece en varias webs (he buscado en google "problema monos cocos" y aparece en más de 100.000 webs incluyendo la wikipedia) (poniendo "Monkey and Coconut Problem" sale medio millón de enlaces).
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Sea x el número de cocos que se lleva un hombre y sea y el número de cocos que se lleva el siguiente. Del enunciado se deduce que:
y = (4x − 1)/5,
o lo que es lo mismo
4x = 5y+1
o bien
4(x+1) = 5(y +1)
Sea n el número total de cocos y sean a, b, c, d y e las cantidades de cocos que se van llevando sucesivamente los hombres y obtenemos:
4^4 (n+4) = 5^5 (e +1)
Como n+4 ha de ser múltiplo de 5^5=3125 tenemos que el número de cocos mínimo (hay varias soluciones) ha de ser 3121.
(... era bastante difícil)